W Lotto padła historyczna wygrana Nie chodzi tutaj o jej wysokość, a liczbę zwycięzców głównej nagrody. Było ich aż jedenastu. Żaden z nich nie zostanie milionerem, bo nagroda zostanie podzielona i oczywiście opodatkowana. Jak to w ogóle możliwe? Czy da się grać w Lotto tak, aby się to opłacało? Z odpowiedzią na te, i na wiele innych pytań przychodzi matematyka.
Jak trafić szóstkę w Lotto?
W zwykłym Lotto do wyboru mamy 49 liczb. Zasady są proste – spośród nich musimy trafić 6 z 6 wylosowanych przez maszynę losującą liczb, aby wygrać szóstkę. Uwaga, wchodzimy w matematykę. Obliczmy najpierw jaka jest całkowita liczba wszystkich możliwych kombinacji do obstawienia. Posługujemy się kombinacjami bez powtórzeń (nie obchodzi nas kolejność wylosowanych liczb, np. zestaw 1 2 3 4 5 6 jest tym samym, co zestaw 6 5 4 3 2 1, zatem nie powtarzamy tego samego). Wychodzi nam liczba 13 983 816. Prawie 14 milionów możliwych kombinacji do obstawienia.
Jaka jest zatem szansa na wygranie szóstki? W danym losowaniu istnieje tylko jeden zestaw 6 liczb, który jest zgodny z „werdyktem” maszyny losującej. Obliczenie prawdopodobieństwa trafienia szóstki to podzielenie 1 przez liczbę wszystkich kombinacji. Procentowo otrzymujemy „gigantyczną” liczbę w postaci 0,00000715%. Napawa optymizmem, prawda?
Tą samą metodą możemy obliczyć trafienie pozostałych nagród. Szansa na piątkę to „już” 0,0018455%, na czwórkę wzrasta do oszałamiających 0,096862%. Trójka to już pewniaczek – 1,765%. Po zsumowaniu wszystkich możliwych wariantów wygranej otrzymamy informację jaka jest szansa na jakąkolwiek wygraną w danej kumulacji – 1,8637%.
Jedenaście szóstek w Lotto – jak to możliwe?
Gwarantowana pula nagród na każdą kumulację to 2 miliony złotych. Nie posiadamy jednak dokładnych danych odnośnie liczby sprzedawanych zakładów w ramach jednej kumulacji. Na potrzeby artykułu przyjmę, że liczba ta wynosi 10 milionów. Do obliczenia tego prawdopodobieństwa wykorzystałem rozkład Poissona, który w statystyce i prawdopodobieństwu służy do obliczania bardzo rzadkich zdarzeń w określonym przedziale czasu, przestrzeni – pod warunkiem, że wiemy jak często średnio to zdarzenie występuje. Przytoczenie użytego wzoru pominę będąc świadomym, jaką „popularnością” cieszy się matematyka.
Przy 10 milionach sprzedanych zakładów istnieje aż 35% szans, że jeden z nich to trafiona szóstka. Dla dwóch szóstek szansa wynosi 17,5%. Dla trzech jednak nie będzie wynosić 11,6%, a już zaledwie 5,8%. Szanse zmniejszają się w tempie silni. Dla jedenastu wygranych szanse są naprawdę bardzo małe – 0.00000003%.
Matematyka sposobem na wygranie w Lotto?
Człowiek potrafi wpaść w pułapkę gier losowych. Nie chodzi tutaj tylko o Lotto, ale także np. ruletkę, automaty. Pułapka polega na błędnym przeświadczeniu, że jeśli jakaś rzecz się wydarzyła to przez jakiś okres się nie powtórzy. Dla przykładu – fałszywe przekonanie, że jeśli cały czas wypadają czerwone, to teraz na pewno będą czarne, bo ile razy z rzędu może być to samo? Prawdopodobieństwo nie kumuluje się, każde losowanie to oddzielna gra. Nie obchodzi go to, co było przed chwilą. Tak samo jest z Lotto – każda z prawie 14 milionów możliwych kombinacji ma taką samą szansę na wygraną. Przy założeniu, że w następnej kumulacji Lotto znowu sprzeda się 10 milionów zakładów, to znów będzie taka sama szansa na jedenaście szóstek.
Matematyka daje nam odpowiedzi na wiele pytań odnośnie naszych szans, ale nie odpowie nam wprost jak zagrać, aby wygrać. Z jednym wyjątkiem. Jedynym sposobem jest wykupienie wszystkich możliwych kombinacji. Oczywiście, że znalazła się już osoba, która to przetestowała i się jej opłaciło.
Pochodzący z Rumunii Stefan Mendel wygrał w ten sposób 14 razy. Jego taktyka była bardzo prosta. Obliczał liczbę wszystkich kombinacji w danej loterii, wybierał taką, gdzie wartość kumulacji jest 2-3 razy większa niż liczba kombinacji, a na koniec zbierał pieniądze od inwestorów, którym obiecywał wygrane. Wygrywał w swoim kraju, w Australii, w USA. Dorobił się dzięki temu majątku. Jego matematyczne wygrywanie loterii doprowadziło do wprowadzenia przepisów, które zabraniają kupowania wszystkich losów przez jedną osobę lub przez grupę osób.
Może warto brać udział w każdej kumulacji?
Co jeśli kupowałbym zakłady na każdą kumulację w 2025 roku? Losowania odbywają się we wtorki, czwartki i soboty. W przyszłym roku odbędzie się 156 losowań. Zapłacę zatem 468 złotych za same zakłady. Szanse na zwycięstwo są w każdej kumulacji takie same – 0,0000000715. Szansa na porażkę wynosi 1 – szansa na zwycięstwo, więc 0,9999999285. W prawdopodobieństwo bardzo często używamy odejmowania od jedynki, ponieważ wygrana i porażka to wydarzenia przeciwstawne. Jeśli bierzemy udział, to jest pewne, że wygramy lub przegramy, zatem łączne prawdopodobieństwo wynosi po prostu 1.
Rozważamy wyłącznie dwa przypadki – wygraną szóstki lub nie, czyli porażkę. Aby obliczyć szanse na wygraną po 156 losowaniach, musimy podnieść prawdopodobieństwo porażki do potęgi 156, a następnie odjąć od 1. Otrzymujemy zawrotną liczbę 0,0000111557, czyli aż 0,00111557%.
Aby być w 50% pewnym, że wygramy szóstkę musielibyśmy zakupić prawie 9,7 miliona zakładów, co kosztowałoby nas ponad 29 milionów złotych. Czy warto? Odpowiedzcie sobie sami.
